2 Et oportet primo esse sonum quoniam in sono adhibitur proportio et fit apparens continuus sonus unus in cordis vel nervis altior propter frequenciam ictuum et etiam pulsacionum. ³ Et sic multe pulsaciones sursum et etiam deorsum faciunt unum sonum continuum apparenter quamvis sint multe intermedie quietes realiter. ⁴ Et quando fortiter percutitur et inflectitur corda fit sonus acucior. ⁵ Et sonus gravis habet pauciores percussiones et reflexiones corde quam acutus, quia acutus habet plures et forciores.

6 Sed multum et paucum habent se in quadam proportione in sonis sicut multum et paucum habent proportionem consimilem in sonis. ⁷ Tamen sonus etiam comparatur ad sonum sicut quantitas continua ad aliam quantitatem continuam, et musica solum considerat proporciones racionales, quia iste solum possunt poni in practica. ⁸ Sed irrationalis scilicet proportio, quarum species sunt infinite, sicut est medietas duple ad aliam, istas non considerat musicus quia non sunt practicabiles in instrumentis.

9 Et species rationalis proportionis est prima. ¹⁰ Divisio vel enim est equalis vel inequalis, quia omnis proportio numerorum inequalium <99v> est simplex vel multiplex, et si multiplex vel superparticularis vel superparciens. ¹¹ Sed multiplex quando aliud extremorum proporcionis continet aliud extremorum etiam secundum ipsum totum aliquociens : sit bis, sic est duplum, ter, sic est triplum et quater, hoc est quadruplum. ¹² Sed superparciens dicitur quando unum extremorum continet aliud secundum se totum semel et aliquas eius partes, scilicet duas partes et vocatur superbiparciens, vel unum continet aliud et tres eius partes et vocatur supertriparciens.

13 Modo Pictagoras noluit stare sensui auditus sed etiam ratione intellectus in armoniis. ¹⁴ Et sic invenit audiendo 5 malleos facientes proportionem sensibilem armonie. ¹⁵ Et illos ponderavit et invenit quod acutioris soni malleus fuit dupli vel tripli ponderis maioris quam malleus scilicet subdupli ponderis vel subtripli, quia illi fecerunt sonum magis gravem <quam> qui fuerint minoris ponderis secundum proportionem. ¹⁶ Sed nos videmus oppositum, quia magna campana facit sonum graviorem et parva magis acutum.

17 Sed nota quod tres proportiones rationales perfecte <sunt> scilicet diapason, diapente et diatessaron. ¹⁸ Sed in quarta fuit scilicet proportio imperfecta et insensibilis et illa vocabatur tonus. <100r> ¹⁹ Unde tonus est minor differentia vocum vel sonorum et est imperfecta differentia soni quo ad instrumenta vel vocis quo ad vocem humanam.

20 Unde in qualibet specie proporcionis musice sunt certe differentie sonorum sicut diapason habet 8 voces et diapente 5 voces vel differencias sonorum vel vocum vel tonorum.

21 Et sicut visus magis delectatur in coloribus mixtis et simul proporcionatis, sic musica etiam in magis sensibili proporcione vocum magis etiam actenditur.

22 Et est multiplex musica vel multiplex proporcio, scilicet musica vel proporcio tocius mundi universalis secundum suas partes universales, et est etiam musica vel proporcio humana in qua proporcione elementorum hominis consistit vita, et qui habet bonam proporcionem habet bonos mores etiam, et sic bene nati gaudent in bona proporcione musice.

23 Nota ex istis simplicibus armoniis dirivantur alie facientes proporciones et non sunt apud nos in hominibus communis condicionis alie perfecte consonantie nisi ille tres que dicte sunt, scilicet diapason, ubi acuta clavis vel acutus <sonus> excedit in duplo gravem. ²⁴ Est proporcio dulcissima et perfectissima in genere humano. Similiter in diapente et in diatesseron. ²⁵ Sed forte in avibus et aliis animalibus sunt alie proporciones nondum <100v> scite.

26 Nota unus perfectus tonus differt ab altero sibi, scilicet viciniori perfecto ut sol fa dista<n>t per proporcionem sesquioctavam sed non sic semitonium a tono.

27 Et nota quod illa figura circulorum continet derivationem tocius musice, quia proporcio 12 ad 6 facit diapason, sed 12 ad 8 est in proporcione sesqualtera et hoc facit diapente, sed diatesseron est in proportione sesquitertia, sicut 12 ad 9.

28 Nota etiam quod una proportio excedit aliam sicut dyapason ad diapente.

29 Nota sicut proporcio crescit in infinitum per oppositionem sicut in proportione multiplicium, ut patet duo sunt duplum ad unum, et tria sunt triplum, etc. sic in infinitum. ³⁰ Similiter in proportione superparticularium proceditur etiam in infinitum.

31 Et tunc ostendit quomodo una crescit ex altera, quia ex diapente et diatessaron simul iuncta facit et crescit diapason sicut in figura circulorum, ubi ostenditur quod proportio diapason componitur ex proportione, scilicet diatesseron et diapente. ³² Et sic in illa figura triangulari, que est secundum progressionem numerorum, habentur omnes excessus proportionum multiplicium et etiam proporcionum superparticularium et etiam compositiones proportionum quomodo una componit aliam et quomodo una componitur ex alia sicut dyapason componitur ex diapente et diatesseron <101r> etiam simul iunctis.

33 Nota in tertia lectione quod tonus, qui constituitur per differentiam proporcionis toni, que est sexquioctava, non potest dividi in duas equales medietates racionales. Et talis medietas rationalis semper constituitur ex duobus numeris scilicet partibus aliquotis. ³⁴ Quia proportio 18 ad 17 componitur ex una septima decima parte ad 18, et 17 est medium inter 18 et 16, et illud medium non dividit extrema in duas partes equales.

35 Nota regulam quod in nulla proportione superparticulari cadit numerus medius et nulla proportio superparticularis habet radicem, et nulla proportio superparticularis habet extremitates divisionis sue racionales. ³⁶ Ratio : quia inter quoscumque numeros proportionales duos cadunt alii numeri proportionales, et tunc illi etiam inter se habent tot numeros proportionales medios sicut ipsi sunt. ³⁷ Nota duo numeri de numeris primis qui non distant nisi per unam unitatem nunquam possunt dividi in duas medietates equales racionales.

38 Et tunc ostendit quot tonos et semitonia contineat quaelibet proportio musica de perfectis. ³⁹ Quia diatessaron continet duos tonos et unum semitonium, quia ex tot tonis cum semitonio et non cum maiori sed minori constituitur proportio sexquitercia, quia non ex tribus tonis integris, quia illi habent plus quam sesquiterciam proportionem. Unde ipsa <101v> musica non habet fractiones, sed quoscumque numeros integros, sicut geometria quascumque lineas integras.

40 Ut si vis continuere unam proportionem sexqualteram, ut 12 ad 8, addas medietatem de 12 ad 12. 18 ad 12 est iterum proportio sexqualter, et iterum addas medietatem et iterum et non frangas numerum, progredieris etiam in infinitum in proporcionibus.

41 Nota diatesseron comprehendit fa, mi, re, ut quia ut in re est unus tonus integer, et de re in mi est alius tonus perfectus. Sed de mi in fa est unum semitonium. ⁴² Sed diapente tenet plus uno tono integro quam diatesseron. ⁴³ Sed dyapason componitur ex sexquitertia et sexqualtera, et sicut comprehendit 5 tonos integros et duo semitonia.

44 Sed illa duo semitonia simul iuncta non faciunt perfectum tonum sed faciunt vel minus tono vel modicum plus secundum quod plus recedit ab uno tono et minus ab alio, quia nunquam duo semitonia faciunt unum tonum integrum.

45 Nota quod est duplex semitonium, scilicet maius et minus.

46 Nota quod proportio sesquioctava, sicut est inter 8 et 9, <102r> quod illa constituit tonum.

47 Ad inveniendum ergo diatesseron, quod constituitur ex duobus perfectis tonis et uno semitonio, multiplica igitur 8 in se sic octies octo sunt 64. ⁴⁸ Addas illis 64 8 et habebis unum tonum et erunt 72 et illis 72 iterum addas 9 et habes secundum tonum. ⁴⁹ Modo si vis extendere et invenire tertiam partem unde capitur semitonium tunc non reperitur in numeris integris intermediis nec proximis. ⁵⁰ Tunc quilibet istorum numerorum est triplicandus et primus scilicet 64 in se triplicatus producit numerum 192. ⁵¹ Sed secundus triplicatus in se, scilicet 72, producit 216 et sic de tertio numero et isti numeri haberent eandem proportionem inter se quam inveniunt primi numeri unde sunt producti et tot proportionalia media.