Alia musica
trans. Wilhelm Mühlmann: Die Alia Musica (Gerbert, Scriptores 1). Quellenfrage, Umfang, Inhalt und Stammbaum. (Diss.) Leipzig 1914

Mühlmann

Chailley

Reihenfolge der Handschriften mit der Übersetzung von Mühlmann (Numerierung nach Chailley)

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Traité principal I-A

§1 Über die Betrachtung des Harmonischen hat Boetius folgendes auseinandergesetzt: Sie enthält weder über die Glieder allein eine Proportionstheorie, noch allein über die Abstände, sondern über beide zusammen. Denn sie untersucht die Tatsache, daß sich der Abstand vom größten zum mittleren Glied gegen den Abstand vom mittleren zum letzten Glied so verhält, wie sich die Randglieder zueinander verhalten.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Traité principal I-A

§2 Auch die Proportionen gerade der musikalischen Konsonanzen, die Zusammenklänge (Symphoniae) heißen, findet man in dieser fast einzigartigen Teilung. Denn den Zusammenklang der Quarte, der Grundklang ist und gleichsam die Kraft eines Elementes besitzt, findet man in solchen harmonischen Teilungen

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Traité principal I-A

§3 wie es 6:8 ist. Es sollen also die Glieder der folgenden Teilung einmal nach Randgliedern mit dem Faktor 2 und ein zweites Mal nach Randgliedern mit dem Faktor 3 angeordnet sein, also: 6.8.12. 4.6.12. 12 ist also von 6 das Zweifache, und bei der zweiten Anordnung ist 12 von 4 das Dreifache. Wenn wir deren Abstände berechnen und miteinander vergleichen, so ergibt sich die Epitrita-Proportion, d. h. der Quartenzusammenklang. Denn zwischen 6 und 12 liegt 6, und zwischen 4 und 12 8; 8:6 jedoch ergibt die Sesquiterz-Proportion.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Traité principal I-A

§4 Nach derselben Teilung wird auch der Quintenzusammenklang hergestellt. In der mit 2 gebildeten Formel hat 12:8, in der mit 3 gebildeten Formel 6:4 die Sesquialtera-Proportion.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Traité principal I-A

§5 Danach aber ist die Quinte eine Konsonanz wie 6:12. Auch wird bei der Anordnung mit dem Faktor 3 der vereinigte Quinten- und Oktavenzusammenklang hergestellt; die Zahlen sind 6, 9 und 18.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Traité principal I-A

§6 Und da die mit 3 gebildete Formel 2 Konsonanzen enthält, die Quinte und Oktave, so werden wir auch in den Abständen dieser mit 3 gebildeten Formel den zugehörigen Triplus finden. Denn zwischen 6 und 9 ist der Abstand 3, und zwischen 9 und 18 ist er 9, das Dreifache von 3.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Traité principal I-A

§7 Bei der Anordnung mit dem Faktor 2 nun ist das größte Glied das Dreifache des Abstandes zwischen dem mittleren Glied und sich selbst und außerdem das kleinste Glied das Dreifache des Abstandes zwischen sich und dem mittleren Glied. Denn zwischen 8 und 12 liegt 4, wovon 12 das Dreifache ist, und zwischen 8 und 6 liegt 2, wovon wieder 6 das Dreifache ist.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Traité principal I-A

§8 Jener größte Zusammenklang aber, der Doppeloktave heißt, wird als doppelter Duplus aus der mit 2 gebildeten Proportionsformel berechnet. Findet man doch das mittlere Glied als Quadruplus des Abstandes zwischen dem kleinsten und sich selbst; und zwar liegt zwischen 8 und 6 2, wovon sich 8 als Vierfaches erweist.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Traité principal I-A

§9 Auch bei den mit 3 gebildeten Randgliedern ist der Abstand des größten das Vierfache vom Abstand des kleinsten. Liegt zwischen 6 und 18 12, der Abstand der Randglieder, so liegt zwischen 3 und 6 3, wovon 12 das Vierfache ist.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Traité principal I-A

§10 Bei der mit 2 gebildeten Anordnung, wo das mittlere Glied zum kleinsten die Quarte ergibt, zum größten aber die Quinte, wird, wenn die Randglieder addiert und mit dem Mittelglied multipliziert werden, das Resultat das Zweifache von der Zahl sein, die die multiplizierten Randglieder allein bilden, Von 6, 8 und 12 also ergibt die Addition der Randglieder 6 und 12 18, die mit 8 multipliziert zu 144 anwächst. Die Hälfte dieser Zahl ist 72, die aus der Multiplikation von 6 und 12 hervorgeht.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Traité principal I-A

§11 Auch hat eine solche Anordnung die Eigentürnlichkeit, daß das mittlere Glied um den einen Faktor von sich das kleinste überragt, während es um den anderen Faktor von sich von dem größten überragt wird, und um denselben Faktor des kleinsten das kleinste Glied überragt, um den des größten dies vom größten überragt wird.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Traité principal I-A

§12 Wenn nun die mit dem Faktor 2 gebildete Anordnung so getroffen ist, daß das mittlere Glied zum kleinsten die Quinte ergibt, zum größten die Quarte, wie bei 6, 9 und 12, so spricht man, da zwar die Abstände dieselben sind, nicht aber die Proportionen, besser von einer arithmetischen Teilung als von einer harmonischen. Eine harmonische Teilung ist nämlich die, die nach der Bestimmung des Würfels berechnet wird. Hat doch jeder Würfel 12 Kanten, 8 Eckwinkel und 6 Oberflächen, die so angeordnet sind: 6. 8.12.

1. Theoretiker der 8 Modi

Traité principal I-B

§13 Die Lage der 8 Tropi, die die Latinisten modi nennen. Zuerst muß man wissen, daß Tropus eine Übernahme aus dem Griechischen ins Lateinische sein soll, weil das eine in das andere ohne Rücksicht auf seine Eigenart übertragen ist. Töne aber nennt man sie, weil alle Tropi einen gemeinsamen Umfang mit Ausnahme der Halbtöne haben. Modi werden sie auch genannt, weil jeder der Tropi sein eigenes Maß hat und seinen Umfang nicht überschreiten darf.

1. Theoretiker der 8 Modi

Traité principal I-B

§14 Nach Herstellung eines einheitlichen Prinzips, das auf das Zwei-, Drei-, Vier-, Dreihalbe- und Vierdrittelfache in Verbindung mit den Tönen von 15 Saiten angewandt wird, muß man diese 8 Tropi oder Modi bezeichnen.

1. Theoretiker der 8 Modi

Traité principal I-B

§15 Es wird also der 1. Modus, der tiefste von allen, der Hypodorische, in der 1. Oktavengattung liegen, und er wird durch die mittlere Saite bestimmt, die Mese heißt. Den 2. Hypophrygischen Modus bringt die 2. Oktavengattung hervor, die auf der Paramese endet. Den 3. Hypolydischen Modus bestimmt die 3. Oktavengattung nach der Saite, die man Trite diezeugmenon nennt. Den 4. Dorischen Modus ergibt die 4. Oktavengattung, die auf der Paranete diezeugmenon endet. Der 5. Phrygische Modus wird durch die 5. Oktavengattung abgegrenzt; ihre letzte Saite ist die Nete diezeugmenon. Den 6. Lydischen Modus ferner beschließt die 6. Oktavengattung; ihr Ende ist die Trite hyperbolaeon. Den 7. Mixolydischen Modus bildet die 7. Oktavengattung; ihn bestimmt die Paranete hyperbolaeon.

1. Theoretiker der 8 Modi

Traité principal I-B

§16 Weil aber ein Duplus, d. h. eine Oktave, mit seinem Umfang von 8 Tönen keine weiteren Gattungen enthält, jede Klangstelle (symphonia) jedoch nur einen Ton, aber mehrere Gattungen aussendet, so fügte Ptolemäus den 8. Hypermixolydischen Modus hinzu, den er nach den Proprietates des 2. und 3. Modus bildete. Die Quarte nämlich hat 4 Saiten und 3 Gattungen, die Quinte 5 Saiten und 4 Gattungen, die Oktave also 8 Saiten und 7 Gattungen.

1. Theoretiker der 8 Modi

Traité principal I-B

§17 Es hat aber die 1. Quartengattung (e' d' c' h) an 3. Stelle den Halbton, die 2. Gattung (d' c' h a) an 2., die 3. Gattung (c' h a g) an 1. Immer kehrt bei konjunkten Tetrachorden im Quartenabstande dieselbe Gattung wieder, bei disjunkten im Quintenabstande,

1. Theoretiker der 8 Modi

Traité principal I-B

§18 doch folgt nicht immer eine entsprechende Quinte. Daher ist es klar, daß die 3 Quartengattungen die 3 ersten Quintengattungen (e' d' c' h a; d' c' h a g; c' h a g f) durch die Hinzufügung eines Tones entstehen lassen. Die 4. Quintgattung (h' a g f e) aber wird durch den Halbton begrenzt und die 1. nimmt ihren Anfang von der Nete diezeugmenon.

1. Theoretiker der 8 Modi

Traité principal I-B

§19 Es bleibt uns noch übrig, die Merkmale der Oktavengattungen zu verfolgen. Die 1. Gattung (a g f e d c H A) also braucht an 3. und 6. Stelle den Halbton, die 2. (h a g f e d c H) an 4. und 7., die 3. (c' h a g f e d c) an 1. und 5., die 4. (d' c' h a g f e d) an 2. und 6., die 5. (e' d' c' h a g f e) an 3. und 7., die 6. (f' e' d' c' h a g f) an 1. und 4., die 7. (g' f' e' d' c' h a g) an 2. und 5., die 8. (a' g' f' e' d' c' h a) wie die 1. an 3. und 6.

1. Theoretiker der 8 Modi

Traité principal I-B

§20 Um übrigens auf die Oktavgattungen selbst zurückzukommen, so liegt, da die Lichanos hypaton der Hypodorischen Proslambanomenos der Dorischen ist, die Mese der Dorischen, die Paranete diezeugmenon der Hypodorischen ist, um eine reine Quartenkonsonanz höher als die Mese dieser Hypodorischen Oktavgattung. Ähnlich ist der Abstand zwischen der Phrygischen und Hypophrygischen sowie der Lydischen und Hypolydischen. Dagegen unterscheidet sich die Mixolydische von der Hypermixolydischen nur um 1 Ton.

6. Kommentar

Traité principal I-C

§21 Wir müssen jetzt an den Zahlen des Würfels, die eine Betrachtung des Harmonischen liefern, ein wenig nachweisen, wie nach ihnen die obengenannten Gattungen der 8 Modi zu unterscheiden sind. Vorweggenommen sei, daß die Quarte durch 7, d. h. 3 und 4, und die Quinte durch 5, d. h. 2 und 3, nach harmonischer Regel gemessen wird.

6. Kommentar

Traité principal I-C

§22 Denn aus den kleineren Zahlen erkennen wir die größeren und aus den größeren die in dieser Proportion gegebenen kleineren Zahlen. Und das bedeuten die Worte des Boetius im 9. Kap. des 2. Buches: "Wenn ein Abstand 2 Zahlen ohne Rest durchmessen hat, so stehen in dieser Proportion die Zahlen, die ihr Abstand betragen hat, und ebenso werden in der gleichen Proportion die Zahlen stehen, die in Übereinstimmung mit jenen der Abstand durchmessen hat." Z. B. beträgt zwischen 6 und 8 der Unterschied 2, die 3mal genommen 6 und 4mal genommen 8 ergibt. Ähnlich ist der Unterschied zwischen 9 und 12 3, die 3mal genommen 9 und 4mal genommen 12 ergibt. Und so kommt es, daß bei dem Vorhandensein der Sesquiterz-Proportion ohne Rücksicht auf die Größe der Zahlen, selbst bei großen, 3 und 4 nicht versagen, die die Hauptzahlen und gleichsam die Wurzeln für die Sesquiterz-Proportion sind. Ebenso vermittelt bei der Sesquialtera-Proportion zwischen 6 und 9 die Zahl 3, die 2mal genommen 6 und 3mal genommen 9 ergibt. Dies alles wird am harmonischen Regelstab mit dem Zirkel anschaulicher;

6. Kommentar

Traité principal I-C

§23 ist doch an diesem Instrumente jeder Duplus in 2 gleiche Teile geteilt, und wenn man beliebige in den Duplus zerlegbare Zahlen bestimmt, so findet man immer die Mitte, die durch gleiche Abstände von beiden Endgrößen getrennt ist. Z. B. liegt zwischen 2 und 4 3, die sich von beiden Endgrößen durch gleiche Einheiten unterscheidet. Zwischen 4 und 8 ist ebenso die Mitte 6, zwischen 6 und 12 9, und zwischen 12 und 24 ist es 18. Und beide sind gleichweit von der Mitte entfernt, jene um 3, diese aber um 6.

6. Kommentar

Traité principal I-C

§24 Die erwähnten Zahlen sind andererseits miteinander unvergleichbar, weil die 2, in die 6, 8 und 12 zerlegbar sind, kein Teilfaktor von 9 ist und dagegen die 3, in die 6, 9 und 12 zerlegbar sind, kein Teilfaktor von 8 ist.

6. Kommentar

Traité principal I-C

§25 4 ist für 8 und 12 ein gemeinsamer Teilfaktor, und deshalb beginnt nach manchen das Dreifache im Hypodorischen mit der 4 und endet in der 12.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Traité principal I-C

§26 Daher scheinen 8 und 12 die Melodie des 1. Tropus, die Nonanoeane ist, einzuschließen; doch fügen manche dieser Schlußform, die als Quinte besteht, einen Ton hinzu, so daß zuerst in dieser Melodie die 1. Quartengattung erklingt und dann die 2., so daß danach die 3. erreicht werden kann und zuletzt ordnungsgemäß von der 8 zur 12 die 1. Quintengattung hervorgebracht wird.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Traité principal I-C

§27 Hier beginnt die Melodie des 2. Tropus, die Noeagis ist, und sich nicht zur 8, sondern zur 9 erstreckt wie alle Gesänge dieses Tropus. Abgeschlossen werden sie nämlich durch 2 Quartenkonsonanzen.

6. Kommentar

Traité principal I-C

§28 Im übrigen wird 6, die im Dorischen einfach ist, im Hypodorischen und Hypophrygischen verdreifacht, im Phrygischen und Lydischen vervierfacht. Bei welchen aber 6 im Verhältnis zum Dorischen verdreifacht wird, da ist 8 zu verdoppeln. Bei welchen ferner jene vervierfacht wird, da ist diese zu verdreifachen. Endlich wird die 9, die im Dorischen einfach ist, in den übrigen verdoppelt mit Ausnahme des Lydischen, das sich ihrer Vervierfachung und einer Verdreifachung der 12 erfreut. Das Hypophrygische genießt die Wiederholung der 12, ebenso wie das Hypolydische. Dieser Wiederholung im Hypolydischen entspricht 6mal die 6, 3mal die 8 und 4mal die 9. Das Mixolydische wiederholt in einer bestimmten Lage 1 mal 12 und 9 und verdreifacht 6 und 8; in einer anderen Lage aber verdreifacht es 12 und 8 und vervierfacht 6 und 9, in eigener Konsonanz jedoch enthält es 4 mal 12, 8 mal 6 und 6 mal 8. Zuletzt wiederholt das Hypermixolydische in einer Reihe 1mal 12 und 9 und enthält 6 und 8 verdreifacht. In einer anderen Reihe verdreifacht es die 12 und 8 und vervierfacht 6 und 9.

6. Kommentar

Traité principal I-C

§29 Außerdem muß man wissen, daß zu den durch das Urteil eines Musikers festgestellten Zusammenklängen, d. h. Oktave, Quinte und Quarte, manchmal ein Ton am tiefsten oder höchsten Ende zugefügt wird, der emmeles genannt wird, d. h. zur Melodie geeignet, während bei jener Anordnung nun, wo wir 15 in einer Reihe zahlenmäßig geordnete Saiten angeben, die Doppeloktave vorliegt, d. h. 6 (??) und 2x12.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§30 Endlich wollen wir zur Abhandlung eines Unbekannten über die angegebenen Tropi oder Modi kommen, um in diese Abhandlung mit Gottes Hilfe etwas Licht zu bringen.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§32 Wie die gradale Antiphone (Rorate coeli) mit ihren einzelnen Abschnitten den einzelnen Zusammenklängen zugeordnet ist, erklären wir auf folgende Art. Zwischen 6 und 12, die 18 ergeben, ist 6 der Abstand, den die Melodie des 1. Abschnittes im Aufstieg ganz durchläuft, vom Lichanos hypaton bis zur Paranete diezeugmenon nach Vorausnahme eines Ganztones am unteren Ende, der emmeles genannt wird, d. h. zur Melodie geeignet.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§33 Endlich teilt die 3 denselben Abstand in gleicher Weise, und zwar wird so die Quinte durch 6:9 bestimmt. Dieser Zusammenklang also steht als Quarte mit einem Ganzton fest und läuft gänzlich den 2. Abschnitt der Antiphone durch, so daß hier das Verhältnis von 8-2 und 12-3 eintritt, weil 8 die 6 um 2 überragt, so daß die Sesquiterz-Proportion eintreten kann.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§34 9 aber unterscheidet sich von 6 um 3, die die Hälfte von dieser 6 ist, und deshalb der 4. Teil von 12. Also 9-3 entspricht 12-4, wobei der 3. Teil von jener der 4. von dieser ist und sich so zwischen ihnen die Quartenkonsonanz ergibt, die sich von 9 zu 12 erstreckt und den 3. Abschnitt der Antiphone darstellt.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§37 Er behauptet, daß man hier 2 Quinten nehme. Da nämlich die eine, und zwar die kleinere von 2 beliebigen Zahlen, die miteinander nach der Sesquialtera-Beziehung geteilt sind, stets Halbteilung enthält, so ist sicher, daß die kleinere Zahl in 2 gleiche Teile zerlegt werden kann, wobei sie um ihre Halbteilung von der größeren Zahl übertroffen wird. Daher kommt es, daß jene durch 2 und diese immer durch 3 teilbar ist. Und das bedeutet seine Behauptung, daß die Quinte aus 5 und 10 besteht, weil 2 und 3 5 ist, und verdoppelt 10; denn 4 und 6 ergibt 10.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§38 Durch 7 nun läßt sich nach seiner Behauptung, da sie aus 3 und 4 besteht, jede Sesquiterz-Proportion teilen, weil die eine von 2 beliebigen Zahlen dieser Proportion, nämlich die kleinere, in 3 gleiche Teile und die andere, d. h. die größere, in 4 zerlegt werden kann.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§39 So kommt es, daß das Hypophrygische, weil es sich durch die Konsonanz des Quartentotums erklären läßt, durch 7 gemessen werden kann.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§40 Im Hypodorischen aber sowie im Lydischen wird die 10-Teilung wichtig. Das Dorische nun läuft im Alleluja Fulgebunt justi von 12 zu 6 durch die Oktave, und zwar bei Fulgebunt justi, bei et tanquam scintillae durch die Quinte von 12 zu 8 und bei in arundineto von 8 oder besser von 9 zu 6. Und nach diesem Tropus geht ähnlich ein Gradal-Responsorium, nämlich Posuisti Domine.

7. Tonarius

Nova expositio A

§41 Von der 1. Oktavgattung, die die Mese, d. h. o ist, beginnt auch der 1. Tropus und endet auf der unteren Quinte, d. h. e. Seine Formel ist Noannoeane, und er hat 5 Differenzen und 9 Loca in den Nokturnen. Es steht nämlich die 1. Differenz auf o, die 2 Loca hat: den 1, auf sich bei Veniet Dominus und den 2. ein Enharmonium tiefer auf i bei Apertis thesauris. Die 2. Differenz aber steht auf dem Lichanos meson m, die 3 Loca hat: auf sich bei Canite tuba, eine Quart tiefer auf e bei Ecce nomen Domini und eine Quint tiefer auf c bei Intempesta nocte. Die 3. Differenz steht auf i, die 1 Locus hat und zwar eine Quarte tiefer auf c bei O beatum pontificem. Die 4. Differenz steht auf h, die 1 Locus auf sich hat bei Inclinans se Jesus. Die 5. Differenz steht auf e, die 2 Loca hat: auf sich bei Euge serve bone und einen Ganzton tiefer auf c bei Sint lumbi vestri. Die Formel dieses Tropus verläuft zwischen einer reinen Quinte; die einzelnen Saiten enthalten die einzelnen Differenzen, und die 1. Differenz hat 2 Loca, die 2. 3, die 3. 1, die 4. 1 und die 5. 2. Daher hat dieser Tropus sicherlich 5 Differenzen und 9 Loca in den Nokturnen.

7. Tonarius

Nova expositio A

§42 In den Diurnen aber hat dieser Tropus 3 Differenzen. die 1. auf i, die 1 Locus auf c bei Inclina hat, die 2. auf h, die 1 Locus auf e bei Statuit hat, und die 3. auf c, die 1 Locus auf sich bei Gaudete hat. So haben offenbar die einzelnen Differenzen in den Diurnen nur je 1 Locus.

7. Tonarius

Nova expositio A

§43 Wegen der wunderbaren Natur der Differenzen dieses Tropus also wird von einigen das c nicht als Intervall hinzugefügt und deshalb auch nicht als Differenz bezeichnet.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§48 Die einzelnen Modi haben ihren eigenen Typus. Immer beziehen sich zwei seitlich aufeinander, so daß sich dann der eine getrennte in brüderlicher Eintracht zum anderen neigt, der eine sich zum anderen im Aufstieg erhebt. Denn das Hypodorische geht in das Dorische über, wenn es seine Oktave überschreitet.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§49 Und das bedeutet seine Behauptung: "Wenn die 12 zur 6 kommt"; weil nämlich das Hypodorische im Verhältnis zu jener um einen Triplus tiefer liegt. Wenn nämlich in diesem Plagalton die Nete hyperbolaeon als 6 gesetzt wird, so hat die Mese 12, der Lichanos hypaton 18 und der Proslambanomenos 24, und 12 ist der Abstand zwischen 12 und 24.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§50 Diesen Abstand also durchschreitet eine Melodie dieses Plagaltones kaum nach oben in den Antiphonen, aber nach unten kann man entweder die Quart durch 7 oder die Quint durch 10 rechnen.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§51 Es besteht aber zwischen beiden Modi eine reine Quartenkonsonanz. Wo der Lichanos hypaton des Hypodorischen ist, liegt der Proslambanomenos des Dorischen.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§52 Und nun behauptet Boetius, diese Konsonanz gehe aus dem Zwei- und Dreifachen hervor, und zwar so: "Es sollen die Glieder der folgenden Teilung einmal nach Randgliedern mit dem Faktor 2 und ein zweites Mal nach Randgliedern mit dem Faktor 3 angeordnet sein, also: 6.8.12. 4.6.12. 12 ist also von 6 das Zweifache, und bei der zweiten Anordnung ist 12 von 4 das Dreifache. Wenn wir deren Abstände berechnen und miteinander vergleichen, so ergibt sich die Epitrita-Proportion, d. h. der Quartenzusammenklang," usw.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§53 Danach ist es sicher, daß die Paranete diezeugmenon des Hypodorischen, für die 6 angenommen wird, Mese im Dorischen ist. Wenn die Melodie des 2. Tropos bis zu dieser Mese des Dorischen kommt, so sollte man besser vom Dorischen reden als vom Hypodorischen, wie beim Gradal-Responsorium Universi, qui te expectant. Dieses Responsorium läuft durch den Abstand 12, und zwar zwischen 2x12 und 12. Sein Vers, der am Anfang eine Quinte nach oben hat, und zwar von 18 zu 12, läuft bis zur 9; sie stehen also in einem Abstand von 2x9 bis 9. Auch das nokturnale Responsorium, das Circumdederunt me heißt, schreitet in seinem Vers einen Ton nach oben über den Abstand hinaus, den wir zwischen 24 und 12 festgelegt haben.

7. Tonarius

Nova expositio A

§54 Von der 4. Oktavengattung, die auf e steht, wo der 1. Tropus endet, beginnt der 2. Tropus; und er endet dort, wo er beginnt. Seine Formel verläuft aber zwischen einer Quinte, die von m bis c geht; seine Formel ist nämlich Noeagis.

7. Tonarius

Nova expositio A

§55 Dieser Tropus hat 1 Differenz auf e, die 3 Loca hat: eine Quart tiefer auf A bei Laetentur coeli, einen Ganzton tiefer auf c und endlich auf sich bei Juste et pie. Daher hat dieser Tropus sicherlich 1 Differenz in den Nokturnen und 3 Loca.

7. Tonarius

Nova expositio A

§56 In den Diurnen hat dieser Tropus dieselbe Differenz und dieselben Loca: eine Quart tiefer auf A bei Ecce advenit, einen Ganzton tiefer auf c bei Sitientes und auf sich bei De necessitatibus.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§61 Der 3. Ton hat nach seiner Behauptung 2 o, d. h. 2mal 12; o nämlich wird für 12 gesetzt. "Eines," sagt er, "wegen des Umfanges des authentischen Deuterus, d. h. des Phrygischen, und das andere wegen des Plagalen von ihm, d. h. wegen des Hypophrygischen."

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§62 Denn die Mese des Phrygischen, d. h. 12, ist Nete diezeugmenon des Hypodorischen, wo die 5. Oktavengattung anfängt, und deshalb ist dessen Hypate meson Proslambanomenos von jenem.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§63 Ferner ist die Hypate meson des Phrygischen Mese des Hypophrygischen; und er sagt deshalb: "in dessen Oktave er seinen Halbton hat"; weil die Mese eines jeden Typus eine Oktave vollendet und von dieser Hypate meson unter allen Umständen die Melodie des 4. Tropus beginnt.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§64 Ist doch der Anfang von ihm das Ende einer Melodie des 3. Tones, wobei er die Weichheit des chromatischen Geschlechtes nachahmt, in dem häufiger statt der ganzen Oktave die Quinte wiederholt wird.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§65 Denn von der Paramese aus hat er an 4. Stelle seine Oktave und seinen Halbton.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§66 Aber des Wohlklangs wegen fügt man dieser Oktave einen Ganzton zu, wie bei der Melodie des 1. Tropus, so daß von der Mese eine Quart nach unten mit einem Ganzton zusammen als eine Quinte stehen kann.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§67 Daß er aber sagt "seinen Halbton", ist sicher deshalb, weil jede Oktavengattung zu zweit durch ihre Halbtöne bestimmt wird; und wenn diese an einer Stelle geändert werden, verwandeln sie die ganze Beschaffenheit des Tropus, während sie, an ihrer Stelle erhalten, sie bewahren.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§68 Hierfür sind besonders die Töne geeignet, die man den Protus und Deuterus nennt, doch auch die übrigen.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§69 Was er wegen des Drei- und Vierfachen sagt, bedeutet, daß der 2. Tropus 3 mal 6 als Lichanos hypaton nimmt, der 3. aber 4 mal 6 als Proslambanomenos bestimmt, der durch eine höhere Saite im Verhältnis 9:8 als kürzer feststeht.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§70 Er fügt hinzu, daß 4x6 zu 4x3 bez. 12 eine Oktave ist, weil die erste 12, d. h. 2x6, zu seiner Mese wird, deren 4. Teil, d. h. 3, die Melodien dieses Tropus häufiger durchlaufen, und weil sie durch den 4. Teil von 2x12 absteigen, so daß sie eine Oktave ausfüllen können.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§71 Das wird man beim Singen des Aianeoane merken.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§72 Wenn man nämlich von der Paramese die 4. Quintengattung durchläuft, zum Lichanos hypaton hinabsteigt, zum Lichanos meson geht und durch die einzelnen Saiten im Aufstieg eine Quinte nimmt, so kehrt man wieder beim Tiefersteigen zur Trite diezeugmenon zurück und endet zuletzt auf seiner Finalis, d. h. der Hypate meson.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§73 Diese Finalis gibt am Anfang die Gradal-Antiphone Confessio et pulchritudo an, steigt so bis 12-3 auf und kehrt schließlich zur Finalis zurück.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§74 Auf demselben nach oben strebenden Halbton beginnt die Antiphone Cognovi Domine und Dum clamarem ad Dominum.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§75 Auch die nokturnalen Antiphone oder Responsorien verlaufen ebenso: Malos male perdet, Peccavi super numerum, das Alleluja Spiritus Domini und das Offertorium Deus tu convertens.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§76 So wird in diesem Tropus nicht nur durch die Oktave 36 oder durch die Quinte bis zu 30 gesungen, sondern auch durch die Quarte häufiger nach oben oder unten.

3. Theoretiker der 6 Töne

Commentaire du 1er Quidam

§77 Der Musiktheoretiker Aristoxenus, der nicht die Töne selbst maß wie Pythagoras, sondern die Lage der Abstände zwischen den Tönen verglich, unterschied die einzelnen Tetrachorde durch 3 Zahlen, die weder die 60 überschritten noch darunter blieben.

3. Theoretiker der 6 Töne

Commentaire du 1er Quidam

§78 Denn er setzte in 4 Tetrachorden zwischen die 1. und 2. Saite und zwischen die 2. und 3. Saite dieselbe Zahl, zwischen der 3. und 4. aber fügte er ein, was noch bis zur 60 übrig war, und zwar so: 6, 6, 48; 8, 8, 44; 9, 9, 42; 12, 12, 36. Es bleiben noch 2 Tetrachorde übrig, von denen das eine 12, 18, 30 und das andere 12, 24 und 24 hat.

3. Theoretiker der 6 Töne

Commentaire du 1er Quidam

§79 In diesen Zahlen liegt aber folgender Sinn: 24 setzte er für den Ganzton, 12 für den Halbton, 8 für den Drittelton, 6 für den Viertelton, die Diesis; 9 aber stellte er aus dem Viertelton, d. h. 6 und einem Achtel, d. h. 3 her. Von den Tetrachorden nun nannte er das 1. enharmonisch, das 2. weich-chromatisch, das 3. chromatisch-hemiolisch, das 4. chromatisch-tonisch, das 5. weich-diatonisch und das 6. syntonisch-diatonisch.

3. Theoretiker der 6 Töne

Commentaire du 1er Quidam

§80 Größer aber ist in allen Tetrachorden das Endglied als die beiden anderen außer in den beiden letzten, die dem diatonischen Geschlecht angehören.

3. Theoretiker der 6 Töne

Commentaire du 1er Quidam

§81 Nach dem größeren Endglied der Tetrachorde also wird das Verhältnis der Zusammenklänge bestimmt, da 48 gleich 2x24, d. h. Doppeloktave ist, was 4x6 und 3x8 bez. 6x8 ist. Ähnlich ist 2x12 24, d. h. eine Doppeloktave, was 4x6 oder 3x8 ist; 2x9 und 4x6, d. h. eine Quarte, ist 42, und 2x6 und 2x9, d. h. eine Quinte, ist 30. Zuletzt ist 2x6 und 4x6, d. h. eine Oktave, 36.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§84 In dieser Abhandlung scheint das besonders untersuchenswert, wenn er behauptet: "3x6 kann nicht mit 2x12 verglichen werden, da das letztere kein Glied 3 enthält" ; als ob 2x12, d. h. 24, unmöglich mit dem Faktor 3 gemessen werden könnte. Während aber 24 mit dem Zwei- oder Dreifaktor gemessen werden könnte, wollte er sicherlich den Zweifaktor mit dem Zweifaktor und den Dreifaktor mit dem Dreifaktor sich in gleicher Konsonanz entsprechen lassen, als er leugnete, daß der Dreifaktor dem Zweifaktor entspräche.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§85 Wenn er aber hinzufügte, daß 6 zu 12 eine Oktave ergebe, da dies doch schon 1x12 vermocht hätte, so ist wieder daran zu denken, daß man nicht allein mit den Tönen, sondern mit der Lage der Abstände zwischen den Tönen rechnen muß. Denn indem er 2x12 sagte, setzte er 6 zu 2x12 als Vierfaches, und deshalb stellt 6 den Abstand zwischen 6 und 12 her. Ferner besteht zwischen 12 und 2x12 der Abstand 12. Daß diese Abstände endlich miteinander verglichen eine Oktave ergeben, weiß jeder. Und das bedeutet seine Behauptung: "3x6 ergibt die Oktavenkonsonanz 6 und 12", usw.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§86 Dieser Abstand, der 12 ist, enthält beide Konsonanzen, d. h. 2 Quarten, aber er überschreitet keine in den kleineren Antiphonen. Wenn er es aber tut, so enthält er schon die Eigenart des Phrygischen.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§87 Übrigens beginnt seine Melodie, die Noeagis ist, von der Hypate meson, d. h. vom nach oben strebenden Halbton, und endet auf derselben Finalis, nachdem sie eine Quinte durchlaufen hat.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§88 Wie aber jede Quarte mit der 7 durch 4 und 3 gemessen wird, ist oben berichtet. Hier aber ist 2x12 bez. 3x8 gleich 4x6 und 2x9 gleich 3x6.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§89 Es folgen die Gradal-Antiphone, deren erste Resurrexi ist. Ihr Anfang ist der Lichanos hypaton, ihre Mitte und ihre Finalis die Hypate meson und ihre Melodiespitze die Mese. Ebenso ist es beim Gradal-Responsorium Haec dies und beim nokturnalen Rex noster, das im Aufstieg die Paramese überschreitet. Aber auch das Alleluja Pascha nostrum, das bis etwa zur Oktave kommt, steht in diesem Tropus.

7. Tonarius

Nova expositio A

§90 Von der 1. Oktavengattung beginnt sowohl der 1. wie der 3. Tropus seiner Natur nach, der auf der Quarte endet. Seine Formel verläuft zwischen der Quinte o zu e und der Quart o zu cc;

7. Tonarius

Nova expositio A

§91 die Formel dieses Tropus ist nämlich Noeoeane.

7. Tonarius

Nova expositio A

§92 Dieser Tropus hat nämlich in den Nokturnen 3 Differenzen: 1 auf m, die 1 Locus auf sich bei Qui odit animam hat, die 2. auf o, die 1 Locus eine Quart tiefer bei Qui de terra est hat, und die 3. auf x, die ein tieferes Enharmonium auf m bei Et respicientes hat.

7. Tonarius

Nova expositio A

§93 In den Diurnen nämlich hat dieser Tropus dieselben Differenzen und dieselben Loca: m bei Ego autem cum, die Differenz o und den Locus h bei Dum sanctificatus.

7. Tonarius

Nova expositio A

§95 Von der 5. Oktavengattung, wo der 3. Tropus endet, beginnt auch der 4., und zwar von h, und er endet auf demselben h. Seine Formel verläuft zwischen einer Quinte von o bis e, wozu ein Ganzton nach unten von c zu e kommt; seine Formel ist nämlich Noeagis.

7. Tonarius

Nova expositio A

§96 Dieser Tropus hat nämlich in den Nokturnen 2 Differenzen: die 1. auf h, die 4 Loca hat, auf sich bei O quam clarus est, auf i bei Jerusalem und einen Ganzton tiefer auf c bei Rubum quem viderat. Die 2. Differenz steht auf e, die 1 Locus auf c bei Betleem non es minima hat. Daher hat dieser Tropus sicherlich 2 Differenzen und die angegebenen Loca in den Nokturnen.

7. Tonarius

Nova expositio A

§97 In den Diurnen nämlich hat dieser Tropus 1 Differenz auf m bei Resurrexi.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§101 Hier ist, wie mir scheint, nichts anderes zu untersuchen, als seine Behauptung, daß die Zahlen, die als 2 Quinten zu rechnen sind, die Konsonanz der Prim 12 ergeben. 2 Quinten nämlich eben, 4x6 und 3x8, ergeben mit der gleichen Zahl die Prim. Denn wer sähe ein, daß 4x9 und 3x12 in der vorhergenannten Proportion stehen?

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§102 Daher ist ersichtlich, daß aus der 12 die Oktave als 2x12 entspringt, die zur 48 die andere Oktave vollendet; zwischen ihnen in der Mitte hat dieser Tropus seine Eigenart, da jene Konsonanz, die 3x12 zu 3x8 ist, einerseits sich auf 12 und andererseits auf 48 bezieht und beide Zahlen zu 3x8 eine Oktave ergeben.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§103 Ferner enthält 3x12 die Grenzen dieses Tropus nach dem tieferen Teile, da er doch von der Trite diezeugmenon, mit der 3. Quartengattung beginnend, die 3. Quintengattung abwärts in seiner Melodie, die Noeoeane ist, bis zur Parhypate meson läuft, die seine Finalis ist.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§104 Die Gradal-Antiphone Domine refugium nun kehrt 2mal zur selben Saite zurück, und so beginnt auch Circumdederunt und das Offertorium Immittet angelus. Das nokturnale Responsorium Obsecro Domine fängt von der Mese nach einem enharmonischen tieferen Tone an, um sich sofort chromatisch nach oben zu bewegen.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§105 Die 2. Oktavgattung nämlich, die von der Paramese beginnt, ist darin einzigartig, daß sie 3 Ganztöne ohne Halbton einander in einer Reihe folgen läßt, auch liegt in dieser Oktave keine 8 zwischen 6 und 12, und daher fügt man hier meist das Synemmenontetrachord ein.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§106 Auch das Alleluja Beatus vir läuft von der Finalsaite dieses Tropus aus, dagegen bis zur Oktave empor durch die ganze 5. Oktavengattung.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§107 In den vorhergehenden Zahlen aber fällt die Quintenkonsonanz unter das Maß der 5: da 3x8 und 4x6 zu 2x12 kommen; 4x9 aber zu 3x12 als Zwei- und Dreifaches, die die 5 ergeben, ihre Quinte bewahren.

7. Tonarius

Nova expositio A

§108 Von der 3. Oktavengattung, die auf y steht, beginnt der 5. Tropus, und endet auf der Quinte, d. h. i. Seine Formel nämlich verläuft zwischen der Quinte y zu i, wozu ein Enharmonium von y bis dd kommt; die Formel dieses Tropus ist nämlich Noeoeane.

7. Tonarius

Nova expositio A

§109 Dieser Tropus hat nämlich 2 Differenzen in den Nokturnen: 1 auf o, die 2 Loca hat, auf sich bei Obsecro Domine und ein Enharmonium tiefer auf i bei Vox clamantis und die 2. Differenz auf y, die 1 Locus auf sich bei Hodie nobis hat.

7. Tonarius

Nova expositio A

§110 In den Diurnen nämlich hat dieser Tropus 4 Differenzen und 3 Loca: auf sich bei Exaudi Deus, die 2. auf m, die 1 Locus auf i bei Circumdederunt me hat, und die 3. auf y bei Justus Dominus.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§114 Da es 8 Tropi gibt, von denen 4 Authentische oder Principale genannt werden, die anderen aber Plagale oder Subjugale, so muß man wissen, daß sie sich von einander, d. h. der Principale von seinem Subjugalen, nicht unterscheiden, weder durch das Gesetz der Zahlen noch durch die Natur der Zusammenklänge.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§115 Deshalb entsprechen die Maße und Zahlen dieses Modus mehr dem lydischen Principalen als dem Subjugalen, da doch jener den 6. Teil von 2x12, d. h. 4, durchläuft und häufiger den 4. Teil, d. h. 6. Er erstreckt sich aber in einigen Antiphonen nach Art der Subjugalen kaum bis 2x12.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§116 Was endlich die Behauptung anbetrifft, daß 2x12, d. h. 24, nach dem 6. oder 4. Teil gemessen wird, so heißt das, daß sie als Quinte, die er später die Konsonanz dieses Tropus nennt, durch 10 gemessen wird; denn 6 und 4 entspricht dem Maß der 10.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§117 Wenn er aber 6x6 mit 6x4, d. h. 60, vergleichen will, so bedeutet das soviel als ob er sagte, daß 36 zu 24 als Quintenkonsonanz verglichen werde.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§118 Ferner läßt er 3x8 bez. 2x12 in Oktavenkonsonanz von 6 zu 12 stehen, was nichts anderes bedeutet, als daß 3x8 bez. 2x12 sich zu 12 genau so verhalten wie die früher erörterte Oktave mit ihren kleineren Zahlen, d. h. 6 zu 12.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§119 Denn von seiner Finalis aus, die Parhypate meson ist, durchläuft er die obere Quint und untere Quart. Aus diesen beiden Konsonanzen wird eine Oktave gebildet, wie man an der Antiphone Omnes gentes beobachten kann.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§120 Denn sie geht zur Parhypate hypaton hinab und bis zur Trite diezeugmenon, was wie gesagt, eine Oktave ausmacht. Ebenso steigt das Offertorium Stetit angelus hinauf und hinab. Auch das nokturnale Responsorium Aspiciebam mit seinem Verse und Esto nobis scheinen bis zur Nete hyperbolaeon aufzusteigen.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§121 Das Alleluja Omnes gentes enthält sogar die Melodie dieses Tropus, die Aannes ist, in der Intonation. Wenn aber die Melodie beim Aufstieg die Mese berührt, so nimmt sie dann beim Abstieg die 3. Quartengattung.

7. Tonarius

Nova expositio A

§122 Von der 6. Oktavengattung, wo der 5. Tropus endet, beginnt der 6., d. h. von i. Doch verläuft seine Formel in einer Quinte von o zu e, wozu ein Ganzton nach unten von e zu c kommt; die Formel dieses Tropus ist nämlich Noeagis.

7. Tonarius

Nova expositio A

§123 Dieser Tropus hat nämlich in den Nokturnen 1 Differenz, die 3 Loca hat: auf sich bei Aspiciebam, ein Enharmonium nach oben auf o bei Modo veniet und eine Quarte tiefer auf c bei Per memet ipsum. Daher wird dieser Tropus durch 1 Differenz und 3 Loca charakterisiert.

7. Tonarius

Nova expositio A

§124 In den Diurnen nämlich hat dieselbe Differenz 2 Loca: auf sich bei Os justi und eine Quart tiefer auf c bei Qui manducat.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§127 Wenn er behauptet, das Mixolydische entstehe aus den Proportionen des 4. und 5. Tones, das so genannt worden ist, weil es aus dem Lydischen gemischt worden ist, so muß man wissen, daß im 4. Ton durch 2x9 zu 2x12 und 3x6 zu 3x8 in 42 die Quarte entsteht. Im 5. aber bildet 6x6 zu 6x4 bez. 2x12 und 4x9 zu 4x6 bez. 2x12 durch 60 die Quinte.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§128 In eigener Proportion aber hat es die Oktave, die 4x6 zu 4x12 und 6x4 bez. 2x12 zu 6x8 ist, wobei die zusammengezählten Zahlen 48 ergeben.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§129 Während die Melodie dieses Tropus von der Paranete diezeugmenon ausgehend, auf der Lichanos meson, die Finalis ist, endet, indem sie durch die Quarte und einen Ganzton zuerst eine Quinte nach unten angibt, stellt sie dann die 3. Gattung von ihr dar, so daß die Quinte für diese Konsonanz zu bestehen scheint. Wenn dagegen dieser 7. Tropus nach oben von seiner Finalis aus die 7. Oktavgattung vollendet, wie der 4. durch die Quarte 7 und der 5. durch die Quinte 10 gemessen wird, so ist die Paranete hyperbolaeon die Grenze dieser Gattung nach oben.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§130 Wo aber die Melodie dieses Tropus, die Noeoeane ist, aufhört, da beginnt die Melodie des 8. Tropus, die Noeagis ist, durch die Quarte nach oben. Diese kehrt sie sofort zurück, und unterscheidet sich von ihrem Prinzipalen nur durch diese Differenz, wie es das Hypermixolydische durch seinen Namen anzeigt; Hypermixolydisch nämlich heißt es, weil es das Mixolydische übersteigt, nach Ptolemaeus die 8. Oktavengattung, die höher liegt als alle übrigen, durchläuft und aus den Proportionen des 4. und 5. Tones besteht wie das Mixolydische.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§131 Gesungen aber wird das Mixolydische in den Gradal-Antiphonen Puer natus est nobis und Audivit Dominus, Und die nokturnalen Responsorien beginnen auf dieselbe Art Iste est frater vester und Dixit Judas fratribus suis. Obrigens steigt die Antiphone Puer natus est zur Paranete diezeugmenon an, wo die Melodieformel dieses Tropus den gleichen Anfang hat wie das Responsorium Ecce dies veniunt; auch Nascetur nobis beginnt in diesem Tropus auf dieselbe Art.

6. Kommentar

Commentaire du 1er Quidam

§132 Ferner laufen die Melodien des 8. Tropus nach Art der Subjugalen zwischen der 4. Oktavengattung.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Nova expositio B

§133 Es gibt von der Mese aus 4 Saiten nach oben, (a, h, c', d'), die der Synemmenon-Saite zunächst zur Seite liegen; sie nehmen von dem höheren Teil ihren Ausgang in den ersten 4 Oktavengattungen und nach den Melodien der 4 Tropi.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Nova expositio B

§134 Von diesen Tropi oder Tönen heißt der 1. in griechischer Sprache Protus, der 2. Deuterus, der 3. Tritus, und der 4. Tetrardus: Sie unterscheiden sich voneinander durch ihre Finaltöne (d, e, f, g) im Pentachord, das in einer Quint besteht, am unteren Ende. Das darüberliegende Tetrachord (d', e', f', g') aber, das in einer Quart besteht, erreichen sie, so daß jeder seine Oktavengattung besitzt, in der er umherschweifend frei nach oben oder unten läuft. Zu dieser Oktave wird meist noch ein außerhalb von ihr liegender Ton hinzugefügt, der Emmeles, d. h. melodiebildend, genannt wird.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Nova expositio B

§135 Auch muß man wissen, daß das Dorische hauptsächlich durch den Protus bestimmt wird, ähnlich das Phrygische durch den Deuterus, das Lydische durch den Tritus, das Mixolydische durch den Tetrardus. In gewissen Melodien treffen die Plagae gewissermaßen in einer Berührung diese Töne, so daß der Plagale des Protus den Protus, der des Deuterus den Deuterus, der des Tritus den Tritus und der des Tetrardus den Tetrardus berührt. Und man findet dies an den Antiphonen des Graduale bestätigt.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Nova expositio B

§136 In den nokturnalen und diurnalen Responsorien nämlich oder auch in sonstigen kirchlichen Gesängen überschreiten die Plagalen die Grenzen dieser Töne nach Belieben, und durchlaufen die Oktavengattungen, die sie im tieferen Teil begonnen haben, wie es paßt, während die einzelnen Finalsaiten die einzelnen Gattungen beginnen.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Nova expositio B

§137 Die 1. von diesen Gattungen, die die Grenztöne der prinzipalen Tropi oben oder unten haben, ist das Dorische, die 2. das Phrygische, die 3. das Lydische und die 4. das Mixolydische; doch können alle Oktavgattungen oben oder unten anfangen, und zwar geht die 1. von o bis a oder von a bis o, die 2. vonxbis b oder von b bis x, die 3. von y bis c oder von c bis y, die 4. von cc bis e oder von e bis cc, die 5. von dd bis h oder von h bis dd, die 6. von ff bis i oder von i bis ff, und die 7. von nn bis m oder von m bis nn.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Nova expositio B

§138 Es gibt 4 obere Grenztöne, und zwar o, x, y und cc und 4 untere, und zwar e, h, i und m. Die oberen (a, h, c', d') begrenzen oben das Hypodorische, Hypophrygische, Hypolydische und Hypermixolydische; die unteren (d, e, f, g) begrenzen unten das Dorische, Phrygische, Lydische und Mixolydische, woher sie auch Finales heißen.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Nova expositio B

§139 Daher wahrt die Tonbewegung einer Melodie, die innerhalb der Gattung des Hypodorischen läuft, dessen Eigenart, wenn sie aber höher steigt, wird sie zum Dorischen. Ebenso wahrt sie innerhalb der Gattung des Hypophrygischen dessen Eigenart, steigt sie aber höher, so wird sie zum Phrygischen. Auch innerhalb der Gattung des Hypolydischen wahrt sie dessen Eigenart, steigt sie aber höher, so wird sie zum Lydischen. Ähnlich verhält es sich ersichtlich beim Hypermixolydischen.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Nova expositio B

§140 Also begrenzt die Tonbewegung der Melodie im Dorischen nach dem höheren Teil zu cc, die Tonbewegung im Phrygischen dd, die Tonbewegung im Lydischen begrenzt ff und die Tonbewegung im Mixolydischen begrenzt nn. Daher kommt es, daß das Dorische von o entweder bis e herabsteigt oder bis cc hinaufsteigt und diese Grenzen nach oben bez. unten hat. Ähnlich steigt das Phrygische vonxentweder bis h hinab oder bis dd aufwärts. Ebenso steigt das Lydische von y bis i abwärts oder bis ff hinauf. Das Mixolydische endlich steigt von cc entweder bis m hinab oder bis nn hinauf. Und immer hat jeder prinzipale Tropus unterhalb der Mese-Saite eine Quint und oberhalb eine Quart, so wie 8 zwischen 6 und 12 liegt. Jeder subjugale Tropus aber hat von der Final-Saite eine Quint nach oben und eine Quart nach unten, so wie 9 zwischen 6 und 12 liegt.

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Nova expositio B

§141 Wenn aber oben oder unten zu irgendeinem Tropus außerhalb der Gattung des Duplus ein Ganzton hinzutritt, so ist das kein Widerspruch, sondern heißt den Emmeles hinzusetzen, und zwar so, daß er, gleichgültig ob er hier oder dort hinzutritt, von den oben festgestellten Mitteltönen eine Quint und einen Ton oder eine Quart und einen Ton entfernt ist (cd-a-d'e'; GA-d-ab).

2. Theoretiker der Principales und Subiugales

Nova expositio B

§142 Zu reden bleibt noch von den 3 aufeinanderfolgenden Ganztönen, deren Lage das Synemmenon-Tetrachord heraushebt, insofern zwischen o undxdie Trite synemmenon, d. h. q, tritt. Doch läßt man sie kaum jemals vernünftig nach der Paramese erklingen, sondern man findet sie entweder nach o oder nach c; nach o z. B. in dem 3. Ton der folgenden Antiphone. Justus es, Domine.

6. Kommentar

Nova expositio B

§143 Endlich enthält der 8. Tropus dieselbe Oktavengattung wie der 1., unterscheidet sich jedoch von ihm dadurch, daß er m als mittlere Saite zum Hüter seiner Eigenart hat, jener aber als Protus o.

6. Kommentar

Nova expositio B

§144 Wer aber diesen Unterschied nicht kennt, läuft fälschlich bald in diesen, bald in jenen, wie z. B. in der Antiphone Urbs fortitudinis, die im 1. Ton anfängt und im 8. endet wegen eines Halbtones, den sie mit der Saite, die m heißt, unklug nicht an richtiger Stelle dort verbindet, wo aperite portas eintritt.

6. Kommentar

Nova expositio B

§145 Übrigens kommt der 8. Tropus in den Gradal-Antiphonen Ad te levavi und Domine ne longe und in den nokturnalen Antiphonen Repleti sunt omnes und Lux de luce vor, ebenso in den nokturnalen Responsorien Montes Gelboe und Dixit Ruben, den diurnalen Responsorien Dilexisti und Qui sedes und dem Offertorium Si ambulavero.

7. Tonarius

Nova expositio A

§146 Von der 4. Oktavengattung, die über der Mese liegt, d. h. von cc, beginnt der 7. Tropus, und er endet auf der Quinte m. Seine Formel verläuft zwischen der Quinte cc zu m, wozu ein Ganzton von m zu i kommt; die Formel dieses Tropus ist nämlich Noeoeagis.

7. Tonarius

Nova expositio A

§147 Er hat nämlich in den Nokturnen 3 Differenzen. 1 auf cc, die 1 Locus eine Quinte tiefer auf m bei Summae trinitati hat, die 2. auf y, die 2 Loca hat, auf sich bei Dixit Judas und einen Ganzton höher auf cc bei Aspiciens. Die 3. Differenz steht auf o, die 2 Loca hat, auf sich bei Attende Domine ad me und einen Ganzton tiefer auf in bei Missus est Gabriel. Und auf dieser Differenz stehen alle Antiphone, die wir wegen einer Abweichung am Ende im 4. ansetzen wie z. B. Benedicta tu.

7. Tonarius

Nova expositio A

§148 In den Diurnen gehört diesem Tropus 1 Differenz auf m, die 1 Locus auf sich bei Puer natus est hat.

7. Tonarius

Nova expositio A

§150 Von der 7. Oktavengattung, die auf m steht, wo der 7. Tropus endet, beginnt der 8., und er endet dort, wo er beginnt. Seine Formel verläuft zwischen einer Quinte nach oben von m zu cc, wozu ein Ganzton nach unten von m zu f kommt; die Formel dieses Tropus ist Noeagis.

7. Tonarius

Nova expositio A

§151 Dieser Tropus hat in den Nokturnen 1 Differenz, die 5 Loca hat: auf sich bei Ecce dies veniunt, einen Ganzton tiefer auf i bei Doceam iniquos, einen Ganzton höher auf o bei Quodcunque und eine Quart höher auf y bei Ecce ancilla Domini. Daher wird dieser Tropus in den Nokturnen sicherlich durch 1 Differenz und 5 Loca charakterisiert.

7. Tonarius

Nova expositio A

§152 In den Diurnen nämlich hat dieser Tropus 1 Differenz, die 2 Loca hat: auf sich bei In virtute tua und eine Quarte tiefer bei Domine ne longe.

3. Theoretiker der 6 Töne

1er Quidam B

§154 Wie Vitruv in seinem Buch über die Architektur sagt, gibt es nach den Physikern nicht mehr als 8 Winde: 4 Prinzipale und 4 Zugeordnete. 4 aber, die hinzugefügt werden, damit es 12 sind, verhalten sich so wie die 4 Halbtöne zu den 8 Tönen. Denn in den Wellen des Meeres und der Flüsse tönt immer die 1. Welle lauter als die 7 folgenden; die 9. aber ist der 8. ähnlich. So gibt es auch beim Donner 8 Absätze, in denen der Philosoph Pythagoras auf dem Atlasberg, der dem Himmel sehr nahe ist, die auf die Harmonie des Himmels bezogenen Konsonanzen von 8 Tönen fand; ihre Proportionen vollendet das Himmelsbild der 5 Zonen, durch deren Ordnung die Welt beherrscht wird.

3. Theoretiker der 6 Töne

1er Quidam B

§155 Jede Konsonanz in der Musik hat nämlich zur 1 entweder die 2 im Duplex oder die 3 im Triplex oder die 4 im Quadruplex oder die 5 in der Sesquialtera oder die 7 in der Sesquiterz. Endlich wird, wie oben gesagt ist, aus 5 Ganz- und 2 Halbtönen das Oktaven-Diapason vollendet (das der 1. Ton ist) als 6 zu 12, worauf jede Konsonanz in der Musik bezogen wird.

3. Theoretiker der 6 Töne

1er Quidam B

§156 Jede Zahl nämlich, die nach 12 geteilt werden kann, so daß sie zu 12 selbst entweder durch ein Drei- oder Vierfaches oder durch ein Vier- und Dreifaches geteilt wird, ist musikalisch, da sie aus den obengenannten Proportionen besteht. Denn Pythagoras stellte von der 6 die Dupla her zur 12, die in der Sesquialtera zur 8 und in der Sesquiterz zur 9 steht. Daher besteht sie aus 5 Tongattungen: Einfachen, und zwar Quint, Quart und Oktav und Zusammengesetzten, und zwar Duodezime (wie die Tripla und der 7. Ton, Undezime im 6. Ton) und Doppeloktave (im 8. Ton), die Duplus und Triplus in sich enthält.

3. Theoretiker der 6 Töne

Commentaire de la partie B

§157 Daß er die Töne mit den Winden verglich, geschah nach paralleler Gesetzmäßigkeit, da es feststeht, daß zum Hervorbringen des Tones entweder das Plektrum oder Luft nötig ist. Wenn er behauptet, 4 Halbtöne gehörten zu diesen Tönen, so muß man wissen, daß es mit Ausnahme des Tetrachordes, das an die Mese als conjunctum anschließt, 4 sozusagen gerade Tetrachorde gibt, die in der Tiefe mit einem Halbtone enden.

3. Theoretiker der 6 Töne

Commentaire de la partie B

§158 Über die Wellen von Meer und Flüssen und wie sie zurückkehren, handelt die Lehre der Physiker. Wie auch Hyginus bei der Konkordanz von Jahren, Tagen und Monaten, die nach 7 Jahren im 8. wiederkehren bez. nach 7 Tagen, in seiner Astrologie über die Eigenart der Zahl 8 Erörterungen anstellt, nach der die Himmelssphäre sich oben und unten im äquinoktialen Umlaufe teilt. Von dieser Zeitensphäre sind 4 Teile oben sichtbar, 4 Teile liegen unten.

3. Theoretiker der 6 Töne

Commentaire de la partie B

§159 Wenn er ferner hinzufügt, die 9. Welle sei der 8. ähnlich, so ist das nichts Wunderbares, da auch die 9. Saite der 8. so ähnlich ist, daß Gleichklang erreicht wird, wenn die eine für die andere angerissen wird. Also ist in den einzelnen Oktavgattungen die 1. und 8. Saite von demselben Klang, liegt aber nicht an derselben Stelle und nimmt auch nicht denselben Raum an Länge oder Kürze ein; da beim Heptachord ohne jede Verwirrung die 1. für die 8., die 2. für die 9. und die 3. für die 10. eintritt. Beim Oktachord indessen tritt die 1. für die 9. ein, so daß die 8. ihr ähnlich und auch von gleichem Klange ist, abgesehen von der durch die Spannung bedingten Höhenlage.

3. Theoretiker der 6 Töne

Commentaire de la partie B

§160 Über Donner und Wellen eine Erörterung der weltlichen Philosophie herzusetzen habe ich mir erspart. Über die 5 Konsonanzen und die 5 Zonen aber kann man einen Vergleich nicht abweisen, da auf jener Beziehung die Theorie der ganzen Musik beruht, auf dieser aber die Bewegung der Himmelssphäre.

3. Theoretiker der 6 Töne

Commentaire de la partie B

§161 Wir setzen also die 6 als Einheit, zu der 2x6 als Duplus zwischen 18 und 6 liegt; ebenso zu ihr 3x6 als Triplus zwischen 24. So ergibt 4x6 zu ihr die Quadrupla-Proportion zwischen 30. Zu 2x6 3x6 verglichen, ergibt zwischen 30 die Sesquialtera-Proportion, ähnlich ergibt 3x6 zu 4x6 proportional eingestellt, zwischen 42 die Epitrite.

3. Theoretiker der 6 Töne

Commentaire de la partie B

§162 Das Gesetz für sie alle habe ich oben durch einen jeden Ton einzeln durchgeführt.

4. Überarbeiter

Commentaire de la partie B

§162 Der 1. Tropus steht in der Dupla, der 2. in der Tripla, der 3. in der Quadrupla, der 4. in der Epitrita, der 5. in der Sesquialtera, der 6. in der Undezime, der 7. wie die Tripla in der Duodezime und die Doppeloktave im 8., die Duplus und Triplus in sich enthält.

3. Theoretiker der 6 Töne

Commentaire de la partie B

§163 Jetzt aber darf ich die Bedeutung der 12 nicht übergehen, zu der jede Zahl, die durch 3 oder 4 teilbar ist, in musikalischer Konsonanz steht. Denn die 12 hat 5 Glieder oder Teile, deren 1. die 1 ist, das 2. die 6, das 3. die 4, das 4. die 3 und das 5. die 2. Sie hat auch die Eigentümlichkeit, daß ihre Hälfte, die sich vom 1. Glied in ungerader Zahl erhebt, aus 3 Gliedern besteht und daher die 1. unter den vollkommenen Zahlen ist.

3. Theoretiker der 6 Töne

Commentaire de la partie B

§164 Wenn also 12, das zu 6 als Verdoppelung aufgefaßt wird, verdoppelt werden soll, so geschieht dies durch die folgende Verdoppelung, wobei ihre Verdoppelungen, die durch die sich folgenden ungeraden Zahlen gebildet werden, ihre Glieder oder Teile erhalten. Also von der 3 angefangen, wird sie als 6, 12, 24 und 48 verdoppelt, und von diesen wird das 1. durch 3 Glieder, das 2. durch 5, das 3. durch 7 und das 4. durch 9 bezeichnet. Wenn aber die 12 von der 4 ihren Ausgang nimmt, so entwachsen ihre Verdoppelungen der 4. Denn in 24 sind Achten enthalten, die aus doppelter 4 hervorgegangen sind, und bei 48 werden wieder Achten hinzugefügt; auch ist 4x12 in 48 enthalten.

6. Kommentar

Commentaire de la partie B

§165 Folgendes bedeutet seine Behauptung, daß die Zahlen musikalisch sind, die durch 3 und 4 teilbar sind, da man sie auf 12 bezieht. 8 nämlich, die durch 4, und 9, die durch 3 teilbar ist, werden mit ihr in Epitrita- oder hemiolischer Proportion verglichen.

6. Kommentar

Commentaire de la partie B

§166 Zu seiner Behauptung endlich, daß manche von den Tönen zusammengesetzt und andere einfach seien, muß man wissen, daß ihre Zusammensetzung so stattfindet wie bei den Grammatikern eine aus 2 selbständigen Teilen bestehende, z. B. magister equitum.

6. Kommentar

Commentaire de la partie B

§167 Während nämlich der 1. Tropus durch die Oktavenkonsonanz hervorragt, wird der 5. durch die Quint ausgezeichnet; und der 2. aus beiden Konsonanzen zusammengesetzt, da er durch die Tripla-Proportion erweitert wird.

6. Kommentar

Commentaire de la partie B

§168 Sofern, wie schon gesagt ist, das Gradal-Responsorium Universi qui te exspectant die ganze Oktavgattung des Hypodorischen durchläuft und noch eine Quinte darüber hinaus, so daß der 5. durch den Triplus vollständig sein kann; der Triplus nämlich ist vorhanden, wenn die größere Zahl mit der kleineren, Subtriplus aber, wenn die kleinere mit der größeren verglichen wird.

6. Kommentar

Commentaire de la partie B

§169 Daher ist 24:8 und 18:6 unbedingt ein Triplus 2 von denen einer durch die Melodie des vorgenannten Responsoriums mit ihrem Vers vollendet wird.

6. Kommentar

Commentaire de la partie B

§170 Einfach aber sind die Tropi, denen ein Zusammenklang genügt, wie der 4. und 5. Während nämlich der 4. durch 7, d. h. 3 und 4 als Quarte verläuft, geht der 5. durch 10, d. h. 4 und 6 als Quinte; von ihm sagt Boetius: "Er ist einfach und grundlegend, und wir nennen ihn den Lydischen. Daher lehrte Plato, die Knaben dürften keineswegs in allen Modi unterrichtet werden, sondern nur in den kräftigen und einfachen."

5. Tafelauszug

Tableaux recapitulatifs

Dorisch, 1. Ton.
        12 Oktave
Quinte  6 Quarte.
           8
         9

            12
Quarte 3x6 Quinte
        2x8 Quinte.
        2x9

            12 Oktave
Oktave 4x6 Quinte.
         3x8
         2x9

           2x12
Quarte 3x6 Quarte.
         3x8
         2x9

          3x12
         4x6 Quinte.
Quinte 3x8
        4x9

          2x12
Oktave 6x6 Quinte
         3x8 Quinte.
         4x 9

          2x12
Quarte 3x6 Quarte.
         3x8
         2x9
oder:
        3x12
         4x6 Quinte.
Quinte 3x8
        4x9
oder in eigener Proportion:
        4x12 Oktave.
Oktave 8x6
         6x8

          2x12
Quarte 3x6 Quarte.
         3x8
         2x9
oder:
        3x12
         4x6 Quinte.
Quinte 3x8
         4x9

3. Theoretiker der 6 Töne

Tableaux recapitulatifs

§172 Im Folgenden sind die Proportionen der 6 Töne enthalten, die aus 5 Ganztönen und 2 Halbtönen gebildet werden und (!) aus 5 Proportionen.

5. Zahlenauszug

Tableaux recapitulatifs

§172 Im folgenden sind die Proportionen der 8 Töne enthalten, die aus 5 Ganz- und 2 Halbtönen gebildet werden aus 6 Zusammenklangs-Gattungen und 5 Proportionen.

5. Zahlenauszug

Tableaux recapitulatifs

§173 Der 1. Ton, der 12, 6, 8 und 9 enthält, hat in 18 die Oktave 6 zu 12, in 20 die Quint 8 zu 12 und in 21 die Quart 9 zu 12.

5. Zahlenauszug

Tableaux recapitulatifs

§174 Der 2. Ton, der 12, 3x6, 2x8 und 2x9 enthält, hat in 30 durch 3x6 zu 12 oder durch 2x9 zu 12 die Quinte, und in 28 durch 2x8 zu 12 die Quarte.

5. Zahlenauszug

Tableaux recapitulatifs

§175 Der 3. Ton, der 12, 4x6, 3x8 und 2x9 enthält, hat in 36 die Oktave durch 4x6 zu 12 oder in 30 die Quinte durch 2x9 zu 12.

5. Zahlenauszug

Tableaux recapitulatifs

§176 Der 4. Ton, der 2x12, 3x6, 3x8 und 2x9 enthält, hat die Quart durch 3x6 zu 3x8 oder durch 2x9 zu 2x12, die 42 ergeben.

5. Zahlenauszug

Tableaux recapitulatifs

§177 Der 5. Ton, der 3x12, 4x6, 3x8 und 4x9 enthält, hat die Quinte durch 3x8 zu 3x12, d. h. 36, oder durch 4x6 zu 4x9, die 60 ergeben.

5. Zahlenauszug

Tableaux recapitulatifs

§178 Der 6. Ton, der 2x12, 6x6, 3x8 und 4x9 enthält, hat die Oktave durch 3x8 zu 2x12, die 48 ergeben, und die Quinte durch 6x6 zu 2x12 oder durch 4x9 zu 2x12, die 60 ergeben.

5. Zahlenauszug

Tableaux recapitulatifs

§179 Der 7. Ton, der 2x12, 3x6, 3x8 und 2x9 oder 3x12, 4x6, 3x8 und 4x9 oder in eigener Proportion 4x12, 8x6 und 6x8 enthält, besteht aus der Proportion des 4. Tones, des 5. und aus seiner eigenen. Er hat die Quart in 42 als 4., die Quint in 60 als 5. oder in eigener die Oktav als 12x12, die 144 ergeben, d. h. 8x6, 6x8 und 4x12.

4. Überarbeiter

Tableaux recapitulatifs

§180 Der 8. Ton besteht aus den obengenannten Proportionen des 4. und 5. Tones.

5. Zahlenauszug

1er Quidam A

§180 Der 8. Ton besteht aus den obengenannten Proportionen des 4. und 5. Tones als Quart und Quint; er enthält 2x12, 3x6, 3x8 und 2x9, die als 3x6 zu 3x8 und 2x9 zu 2x12 in 7 die Quart ergeben, oder 3x12, 4x6, 3x8 und 4x9, die als 4x9 zu 4x6 und 3x8 zu 3x12 in Sesquialtera-Proportion der Zahl 10 stehen. Der 8. Ton besteht entweder als 4. in der Quart 42 oder als 5. in 60 und 60, die als Zahl 120 ergeben.

3. Theoretiker der 6 Töne

1er Quidam A

§181 Jeder 1.Ton hat 6 : 12, d. h. 18, was 3x6 ist und Oktavenkonsonanz genannt wird. Ebenso ist 8 + 12 = 20, was Sesquialtera-Proportion heißt, und zwar + 12, weil 12 in sich 8 außer dessen Hälfte, d. h 4. enthält und dies eine Quinte ausmacht. Ebenso ist 9 + 12 = 21, was Sesquiterz-Proportion heißt, weil 12 die 9 außer deren 3. Teil, d. h. 3, enthält und dies eine Quarte ausmacht, d. h. 3x7, was 21 ergibt. Jeder 1. Ton also hat entweder 3x6 in der Dupla-Proportion, d. h. in der Oktave, wie z. B. Rorate coeli desuper oder 4x5, d. h. 8 : 2 und 12 : 3 in der Sesquialtera-Proportion, die eine Quinte, also 20, ergeben, wie z. B. Et nubes pluant justum aperiatur oder 3x7, d. h. 9 : 3 und 12 : 4 in der Sesquiterz-Proportion, die eine Quarte ergeben, wie z. B. Terra et germinet salvatorem. Ebenso die Introiten: Gaudete in Domino, Inclina Domine und Justus es, Domine und die Antiphone: Urbs fortitudinis, Johannes autem und Traditor autem. Und ersichtlich laufen oft 2 oder 3 Abschnitte oder auch der Gesamtumfang in den Antiphonen oder in irgendeinem Gesange des 1. Tones entweder durch 6 und 12 als Oktave oder durch 5 und 10 als Quinte oder durch das 7-Totum als Quarte, wie Urbs fortitudinis und Johannes autem.

3. Theoretiker der 6 Töne

1er Quidam A

§182 Der 2. Ton geht durch 3x6, d. h. 18 zu 12, die in der Sesquialtera-Proportion die Quinte 30 bilden. Zur 6 im 1. Ton liegt für 3x6 im 2. Ton die Tripla-Proportion vor, weil er jenen verdreifacht überragt. Ebenso bilden 2x8 zu 12 in der Sesquiterz-Proportion 28, d. h. 4x7 als Quarte. Es bildet also die Zahlenproportion, nämlich 2x8 zur 8 im 1. Ton einen Duplus und fällt daher in die Oktave 24 als 4x6 bez. 2x12. Ebenso bildet 2x9 als 3x6, d. h. 18 zu 12 in der Sesquialtera-Proportion wie oben die Quinte 30. Jede Melodie des 2. Tones nämlich zählt entweder durch das Quintentotum 10 wie in der Ant. Ecce advenit, in der 10 oder 5 vorkommt, oder durch das Quartentotum, d. h. 7 wie in Veni et ostende. Ebenso ist eine Quinten-Antiphone Omnipotens sermo tuus, Domine und eine Quarte bei Dominus deus auxiliator meus. Wenn aber die Proportion des 2. Tones in die Oktave kommt, d. h. 6 zu 12 im 1. Ton vorliegt, so bewirkt 3x6 zur 6 des 1. und 2x9 zur 9 und 2x8 zur 8 den 1. Ton.

3. Theoretiker der 6 Töne

1er Quidam A

§183 Der 3. Ton ist der, der 2 A hat, eines wegen der Lage des authentischen Deuterus, das andere A wegen des Plagalen des authentischen Deuterus, in dessen Oktave er seinen Halbton hat, während er den anderen Halbton in der Oktave des 2. Tones hat, was zusammen 2 Halbtöne ergibt, wegen des Dreifachen, wie auseinandergesetzt ist, und des Vierfachen, wegen 4x6 zur einfachen 6 im 1. Ton. Denn 4x6 zu 4x3 bez. 12 ergibt 4x9, d. h. die Oktave 36 als 6x6 bez. 3x12; ähnlich wie 3x8 zu 12, weil Dupla-Proportionen vorliegen. 2x9 zu 12 bilden, weil Sesquialtera-Proportion vorliegt, die Quinte 30. Daher hat dieser 3. Ton entweder die Oktave von 6 zu 12 oder die Quinte als 30, wie bei den Introiten: Confessio et pulchritudo, Dispersit dedit und Cognovi Domine und den Antiphonen: Qui de terra est, Quando natus est, Malos male perdet (und Homo quidam fecit.)

3. Theoretiker der 6 Töne

1er Quidam A

§184 Der 4. Ton. 3x6 zu 3x8 bez. 2x9 zu 2x12 kommen nach einheitlicher Zahlenkonsonanz in der Oktave 6 zu 12, d. h. 18 zusammen. Weil 3x6 nicht mit 2x12 verglichen werden kann, da das Letztere kein Glied 3 enthält, so wird 3x8 mit 3x6 verglichen und 2x9 mit 2x12 in der Sesquialtera-Proportion, die 42 ergeben. Der Umfang dieses Tones ist immer eine Quarte, die Konsonanz aber bildet die Oktave 6 und 12, d. h. 3x6 bez. 2x9 und 2x12 bez. 3x8. Ihre Proportion, d. h. das Verhältnis des größten Gliedes zum kleinsten oder des kleinsten zum größten ist immer eine Quarte, die durch 7 gemessen wird wie bei den Introiten: Resurrexi, Misericordia Domini und In voluntate tua und den Antiph: Rubum quem viderat, Turba multa und Tria sunt munera.

3. Theoretiker der 6 Töne

1er Quidam A

§185 Der 5. Ton hat immer Quintumfang durch 10, weil 3x8 zu 3x12 und 4x6 zu 4x9 durch Sesquialtera-Proportion in die Quint fallen, deren Konsonanz die Prim 12 ist. 4x9 bez. 3x12 zu 4x6 bez. 3x8 ergeben 60, wie bei den Introiten Domine refugium, Circumdederunt tue und Domine in tua misericordia und den Antiph: Solvite templum hoc, Salve crux (und Exultet spiritus meus) usw.

3. Theoretiker der 6 Töne

1er Quidam A

§186 Der 6. Ton hat 6x6 zu 6x4 bez. 2x12 und 4x9 zu 4x6 bez. 2x12, weil die Sesquialtera-Proportion in die Quinte fällt; und 6x4 bez. 3x8 sowie 6x4 bez. 2x12 geht in der Oktavenkonsonanz, d. h. 6 und 12, durch 2x12 und 3x8, was 48 ergibt sowie durch 6x6 und 4x9 bis zu 72. Der Umfang dieses Tones nämlich wird entweder durch die Oktavenkonsonanz, d. h. 6 und 12, oder durch die Quinte, d. h. 10, gemessen. Wie die Introiten: Os justi, Omnes gentes und Quasimodo geniti und die Antiph. O admirabile, (Vade Satana) und Virgo hodie fidelis.

4. Überarbeiter

1er Quidam A

§187 Der 7. Ton hat in der Proportion des 4. Tones das Quartentotum, in der Proportion des 5. Tones das Quintentotum und in eigener Proportion 12x12 als Oktave, was 144 ergibt.